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Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite:

Divide et impera - Seite 2

Natürlich ist es Schwachsinn, überhaupt zu schreiben:
               1 : 2     =     2 / 2                   (1)
Aber ich will damit auf ein ganz bestimmtes Problem aufmerksam machen:
       Was ist wie definiert in der Mathematik?

Für die meisten SchülerInnen ist Mathematik schlichtweg ein unverständliches Fach. Die Abstraktionen haben eine Ebene erreicht, die von den meisten Menschen nicht mehr nachvollzogen werden können. Es wird der Autorität geglaubt, aber nicht mehr gedanklich nachvollzogen, was der Lehrer anbietet.

Hier soll das Beispiel zeigen, was ich meine:
(1) kann man so lesen:
              Teile einen Apfel in zwei „gleiche“ Teile
               und du erhältst zwei halbe Äpfel.                   (2)

Wenn man die Gleichung andererseits so schreibt:
                 1 : 2     =     1 / 2                              (3)
kann man lesen:
               Teile zum Beispiel einen Apfel so,
               dass zwei Kinder den gleichen Anteil erhalten - also
               jedes Kind eine Hälfte des Apfels.                   (4)

Das ist logisch und nachvollziehbar.
Das Problem ist, dass dieses
               „eine Hälfte pro Kind“
            (also die „Maßeinheit“: pro Kind) weggelassen wird.
Eigentlich müsste die Gleichung (3 ) so geschrieben werden:
               1 Apfel : 2 Kinder = 1/2 Apfel pro Kind        (4)
aber es wird verallgemeinert, d. h. der konkrete Bezug auf Äpfel und Kinder weggelassen.
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Divide et impera - Seite 3

Denn man soll ja erkennen, dass diese Gleichung allgemein gilt, für alles, was aufgeteilt wird und für alle, unter denen aufgeteilt wird.

In der Gleichung (3) steht demzufolge eigentlich:
Du kannst dir statt des Apfels und der Kinder auch beliebig andere konkrete Gegenstände denken.
Aber - das steht eben nicht da - und viele (Schüler) können das gedanklich nicht ohne weiteres ergänzen. Sie würden auch die Lesart (1) und (2) für möglich und richtig halten - wenn man es ihnen so und nicht anders erklärt hätte. Denn darüber nachzudenken ist viel zu schwer. Die Klippen der Mathematik kennen sie nicht, sehen sie nicht. Es erscheint alles glatt und einfach. Wie soll man die Schwächen erkennen, die sind - aus welchen Gründen immer - sehr gut versteckt!

So passiert es, dass „1 : 2“ sowohl in der Variante (1) und (2) als auch in der Variante (3) und (4) verstanden werden kann - einmal ist die Lösung „falsch“ und einmal „richtig“. Das habe ich auf der Zeichnung vom „doofen Schüler“ darstellen wollen. Der Schüler hatte lediglich gewagt, selbst zu denken, und schon sagt man ihm, er „sehe das falsch“, er habe „einen Fehler“ gemacht - und er wird „bestraft“ - mit einer schlechten Zensur.

Das Problem ist auch, dass bei der traditionellen Betrachtung außer acht gelassen wird, dass ein aufgeteiltes Ganzes immer noch aus vielen Teilen besteht. Mit der Betrachtung wie in (3) geht also - so ganz „nebenbei“ - die Ganzheitssicht verloren.
Jeder konzentriert sich nur noch auf den Teil, den er abbekommt. Was „habe ich abbekommen" vom ganzen Kuchen? Ist das auch nicht zu wenig? Das ist die „Ideologie“, die hinter dieser Interpretation der Divisionsgleichung steckt. Es zeigt sich also - und das sollte schon zu denken geben:
Es ist keine „Objektivität“ in der Festlegung der Rechenregeln, sondern subjektive, „außer-mathematische“ Wertmaßstäbe und Interessen haben festgelegt, welche Regeln man in der Mathematik anwendet.


Diese Betrachtung hat auch noch einen zweiten Aspekt, eine „Kehrseite“:
Die folgende Rechnung
                           1/2   +   1/2    =   1
ist sicher kein Problem. So wie die Gleichung dasteht, wird sie jeder akzeptieren. Und trotzdem ist sie nicht vollständig. Das Ergebnis ist eines von mehreren möglichen und damit ist es nur zum Teil „richtig“. „Ganz richtig“ wird es erst, wenn man zeigt, dass     nicht immer       1/2 + 1/2   =   1   sind.
Bleiben wir beim Apfel (siehe die Zeichnung oben):
Ich kann mich anstrengen, so sehr ich will, aus zwei halben Äpfeln wird nie im Leben wieder ein ganzer. Ich müsste schreiben:
                      1/2 Apfel + 1/2 Apfel ≠ 1 ganzer Apfel
Das ist ein allgemein-erkenntnistheoretisches Problem, das über die Mathematik hinaus von Bedeutung ist: im ersteren Fall handelt es sich um
             quantitativ-mechanisches Denken,
im zweiten Fall um
             qualitativ-organisches, um Ganzheitsdenken.

Auch hier wird aus der Zeichnung ersichtlich, was ich meine:
Die Abstraktionsebene ist weit weg vom wirklichen Leben.

Das Problem ist aber noch ein tieferes: es besteht ein Unterschied im gedanklichen Ansatz bei der Division:
Der eine Ausdruck „a : b“ hat zwei Bedeutungen: (2 = 1)
Er beschreibt einmal ein Verhältnis, einen Vergleich, eine Analogie ("a zu b" ist wie ...), und im anderen Fall das Aufteilen eines Ganzen a auf/unter verschiedene Bezugsdinge b.
(siehe auch weiter unten das Goethe-Zitat)
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Divide et impera - Seite 4

Noch schwerwiegender ist
die Veränderung der Bedeutung des Gleichheitszeichens
im geschichtlichen Verlauf seiner Anwendung:
Anfangs wurde es nicht gelesen:
        „ist gleich“,
wobei hier die statische, zeitlose Sicht, das sich nicht verändernde gleichbleibende Sein die Grundlage der Definition liefert, sondern als:  
      „wird zu“, „dabei kommt heraus“ , „daraus ergibt sich“.
Es hatte also ursprünglich einmal eine zeitliche Orientierung, der Prozess des Werdens, der Rechen-OPERATION, der Zukunft (dynamische Sicht ) war enthalten.
Noch einmal auf den Apfel zurückgekommen, bedeutet eine Gleichung, in der das Gleichheitszeichen in der Variante „wird zu“ gelesen wird also:
    1 Apfel = 1/2 Apfel + 1/2 Apfel = 2/2 Äpfel
ist richtig, heißt:
Du kannst aus einem ganzen Apfel zwei halbe Äpfel machen, ein ganzer Apfel „wird zu“ zwei halben.
                        1/2 Apfel + 1/2 Apfel ≠ 1 Apfel
heißt in dieser Leseart: Wenn du zwei halbe Äpfel hast, wirst du sie nie wieder zu einem ganzen Apfel machen können. Und diese zweite Leseart, diese zweite reale Situation (Alltag, Erfahrung der Schüler) ist in der Mathematik, in ihren Regeln nicht berücksichtigt.
Die Mathematik spiegelt also gar nicht die „ganze“ Realität, sondern nur einen ausgewählten Ausschnitt, einen Teil des wirklichen Lebens! Die Verkürzung der Gleichung, das „Ausklammern“ des zeitlichen Aspektes ist ein wichtiger, notwendiger und nützlicher Abstraktions-Schritt in der Mathematik!!
Das möchte ich ausdrücklich betonen!
Aber man darf nicht aus den Augen verlieren, dass er erfolgte!!!
Reduktionismus, eine der Hauptkrankheiten der Denkweise in der heute vorherrschenden Wissenschaft.Vielleicht ist die Bedeutung dieser wenigen Zeilen nicht sofort erkennbar. Deshalb sei noch ein Beispiel aus der Physik genannt: Die sogenannte „Reversibilität der Zeit“ war und ist ein „Riesenproblem“ von Physikern, es entstand aber ausschließlich aus der Nichtbeachtung der in der Mathematik durchgeführten Reduktion der Wirklichkeit!
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Divide et impera - Seite 5

Auch der Zusammenhang der Wörter
Division          die Rechenoperation, die die Zukunft kennt?
Divination       das Ahnen, die Voraussage der Zukunft
Diva                ursprünglich lateinisch für „die Göttin“
verdiente einer ausführlicheren Betrachtung.

Außerdem spielen philosophische und physikalische Fragen eine Rolle - insbesondere die über das Verhältnis von causa efficiens und causa finalis, der Wirkursache (aus der Vergangenheit) und der Zielursache ( die "aus der Zukunft heraus wirkt"), die Auslegung des „Prinzips der kleinsten Wirkung“ in der Physik und die Frage nach teleologischen Theorieansätzen in der klassischen Naturwissenschaft.

Wenn es also darum geht, ob Mathematik die Funktion oder

der Nutzung im Alltag
(vor allem auch zum Training des Denkvermögens)

hat, dann zeigt uns der praktische Unterricht: Viele Schüler verstehen den Lehrstoff im Mathematik-Unterricht nicht. Sie lernen auswendig, fragen nicht (!), und die meisten benötigen nur einen Bruchteil des vermittelten Lehrstoffes in ihrem späteren Leben. Mathematik ist vielen langweilig. Es vermittelt eine Unmasse an „leeren“ Begriffen, an Worthülsen, die nicht mit anschaulichen Vergleichen, mit Erfahrungen gefüllt sind. Denken lernen nur wenige mit Hilfe des Mathematikunterrichts.

Deshalb ist

eine andere, erweiterte Sicht
auf die Wissenschaft, auf die Mathematik

meiner Meinung nach nicht zu trennen von einer völligen Überarbeitung des Lehrstoffes unter dem Gesichtspunkt des Verstehens und der Anwendbarkeit, der Brauchbarkeit im weiteren Leben, der Hilfe durch den Mathematikunterrichts beim Denkenlernen, nicht beim Denkenausschalten.
Ob der Lehrstoff in Mathematik also mit „Demokratie“ oder „Herrschaft“ und „Macht“ zu tun hat, kann sich jede(r)
selbst „ausrechnen“.

Ich habe versucht, deutlich zu machen, dass mit der Rechenoperation der „Division“ von Anfang an, schon mit der Definition, etwas „faul“ sein muss. Um das zu verstehen, müssen jedoch jahrhundertelange Denk-Gewohnheiten überwunden werden. Deshalb kann ich mir vorstellen, dass die Ausführungen der vergangenen Seiten besonders schwer zu verstehen sind. Ich sehe aber keine andere Möglichkeit, das Problem zumindest erst einmal anzusprechen. Deshalb kann ich jetzt nur noch um Geduld und Verständnis bitten und versichern, dass mir ganz schlecht geworden ist, als ich den horrenden Unsinn, den die Mathematik hier gemacht hat, begriffen habe.

Um aber zu zeigen, dass es sicher noch mehr „Selbstdenker“ gibt, die auf dieses Problem der Division aufmerksam wurden, erlaube ich mir, hier eine Autorität zu zitieren:
MEPHISTOPHELES:

(in „Faust“ - J.W. Goethe - Zum ersten Teil / Dialog nach der Schlussszene, Hexenküche, 36 - es steht also nicht im Originalwerk)
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Zwei wird zu ein
1 + 1 = 2  oder / und  1 + 1 = 1 ?

In der Symbolsprache steht das Hexagramm für die Verbindung des männlichen und des weiblichen Dreiecks. Diese stehen einmal auf der Basis und einmal auf der Spitze.
Da diese Darstellung bekannt ist, wählte ich hier die etwas andere Lage der Ausgangsdreiecke. Die zwei gleichseitigen Dreiecke in der ersten Zeile der Zeichnung bleiben zwei Dreiecke, auch wenn man sie „auf einen Haufen“ packt. Werden sie aber in eine ganz bestimmte Position zueinander gebracht, ergeben eine neue geometrische Figur, den Sechsstern bzw. das Hexagramm.

Es zeigt sich:
Nur in einer ganz bestimmten Stellung ergeben die beiden Dreiecke auf einmal eine neue Figur, die einen eigenen Sinn hat. Sie ergeben etwas Neues, das wieder eine „ganze“ Einheit darstellt.
Es ist nicht leicht, diese Stellung zu finden, wenn man noch nie einen Sechsstern gesehen hat. In dem Augenblick, wo die beiden Dreiecke diese neue Position der Verbindung im Hexagramm eingenommen haben, hören sie auf „Individuen“ , Einzelteile zu sein. Sie sind jetzt wirklich nicht mehr zwei verschiedene Objekte, sondern ein Objekt geworden.

Aus der Sicht auf das entstandene Hexagramms ist die Vergangenheit aber die, dass die beiden Dreiecke nun nicht mehr als jedes für sich „Ganzes“ erscheinen - sie sind nun jedes ein „halbes Hexagramm“ gewesen.

Die hohe Kunst der Erkenntnis ist, wenn man oder frau schon vor dem Zusammenschluß der beiden Dreiecke erkennen kann, dass sie nur „halbe“ Hexagramme sind. Das geht nicht in der „statischen“ Sicht, das geht nur in der „dynamischen“ Sichtweise, in der auch der Prozess des Werdens und Vergehens erfasst werden kann.
Eine statische Sicht ist also nicht die „ganze“ Wahrheit, sie reduziert die Wirklichkeit.

Diese Vorausschau auf das Ergebnis oder das Spielen mit möglichen Stellungen der vorhandenen Elemente bzw. Einzelteile auf der Suche nach einem sinnvollen Ergebnis (subjektive Seite: das „für mich“ sinnvolle Ergebnis) heißt auch Kreativität.
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Eins wird zu zwei
Über das Ent-ZWEI-gehen und das Ver-ZWEI-gen
(Über das Zerteilen und das Wachsen)

Beim Apfel war es deutlich: aus einem ganzen werden zwei halbe Äpfel. Da ist das „Halbe“ sichtbar.
Schwieriger ist es z. B. bei einem DIN A 3 Blatt, das geteilt wird in zwei DIN A 4 Blätter.
Diese Blätter sind dann - für sich gesehen - neue Ganzheiten, ohne Bezug auf ihre Vergangenheit, ohne Erinnerung an das, was sie früher gewesen sind. In der zeitlichen, dynamischen Sicht bleiben sie „halbe“ DIN A 3 - Blätter, in der statischen Sicht sind sie nur noch zwei ganze DIN A 4 Blätter. Hier wurde „aus eins zwei“ gemacht. Das war ein Teilungs- und Vervielfältigungsprozess.

Es gibt noch einen anderen Prozess, bei dem „aus eins zwei werden“:

Das Wachstum

Schon ein Kind spielt gern folgendes Spiel: Es zeichnet eine Pflanze. Dabei wachsen aus einem Ast oder Zweig immer wieder zwei neue. Es ist faszinierend und anstrengend. Denn wenn das Kind nicht aufpasst, sieht es nicht schön aus: die Zweige verteilen sich unterschiedlich, die Fläche ist nicht so ausgefüllt, dass es dem Kind gefällt. Zuerst wird das, was das Kind da macht, das reine Chaos. Immer wieder fängt es an, immer wieder sieht die Fläche anders aus, schließlich ist es zufrieden. Wer sagt dem Kind, dass es hier Fraktalgeometrie praktiziert und einen Optimierungsprozess vollzogen hat?

Das Kind kann jetzt etwas machen, was Mathematiker nur ganz verschämt tun: es spielt weiter - und so hängt es vielleicht noch ein paar Äpfelchen in die Zweige.
      
Denn ohne die Äpfelchen würde das, was es da gemalt hat, recht tot aussehen. Und das Kind wollte eigentlich etwas Lebendiges malen. Was lebt, das erkennt man an seinen Früchten, an seinen Kindern. Aber über die Fortpflanzung als einen weiteren Wachstumsprozess will ich gar nicht reden, sonst behaupte ich noch eins und eins wären drei:      Wie lebendig, wie fruchtbar ist die Mathematik?
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