Die vollkommene Menge
und das vollkommene Element

Da haben sich die armen Mathematiker so sehr geplagt mit den unendlichen Mengen, aber keiner kann in der Praxis etwas damit anfangen.
Alle sagen nur, was soll das? Gibt es nicht wichtigere Dinge, die mit Hilfe Mengenlehre leichter zu klären wären?
Aber da hat sich der Dumme geschnitten - denn genau das passiert nicht: die Mengenlehre wird eben im Unterricht nicht so vermittelt, dass man leichter und logischer denken kann. Kaum jemand ist allein aus dem Schulunterricht bis zur 10.Klasse (für den Schulunterricht in der DDR galt das übrigens auch.) in der Lage,
mit Hilfe der Mengenlehre seine Alltagsfragen leichter zu lösen.
Dabei könnte gerade die Mengenlehre so hilfreich sein. Sie ist ein Teilgebiet der Mathematik , das unwahrscheinlich großen Spaß macht. Schon im Kindergarten haben die Kleinen das größte Vergnügen daran, Bausteine nach Farbe, Größe und Form zu sortieren - zu „ordnen“.
Größere Leute entwickeln mitunter geradezu fetischistische Neigungen, Mengen in eine geeignete Zuordnung zu bringen: das Puzzle-Spiel ist dabei noch die unschädlichste Form.

Aber sehen wir doch einmal, wie gut die Telekom die Mengenlehre beherrscht: den Trieb, eine Menge von einzelnen Elementen zu einem Ganzen zu fügen, nutzt sie zu schamloser Bereicherung: Briefmarken- und Telefonkartensammler sind ihre Opfer.

Dabei wird aber lediglich ein Grundtrieb des Menschen, eine seiner interessantesten Veranlagungen genutzt: sein Verlangen, alle Elemente einer beliebigen Menge - ganz egal, welche Elemente es sind, welche Menge es ist - in einen höheren Zusammenhang zu bringen.

Das liebste Spiel ist es, „Vollständigkeit“ zu erreichen, also von jedem „möglichen“ Element auch tatsächlich eines zu besitzen.

Die zweite Variante ist, aus einer möglichen Menge das beste, das „vollkommene“ Modell zu besitzen - ... na, Sie ahnen schon, was ich meine ? Ja, genau: des Deutschen (Mannes) liebstes Kind: das Auto. Oh, mir fällt auf: auch bei der Wahl der Frau richtet sich der Mann nach diesem Prinzip: es muss die schönste, jüngste und möglichst noch reichste sein. ( Frank F. Tipler - amerikan. Physikprofessor - hat in seinem Buch „Die Physik der Unsterblichkeit“ in seiner Vorstellung vom Himmel das sehr schön dargestellt - seine Vorstellung von Vollkommenheit einer Frau. Daran zeigt sich, dass die Vorstellung von „Vollkommenheit“ durchaus subjektiv ist.)

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Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :

Ich mache einen Vorschlag zur Ergänzung der Mengenlehre: Das folgende ist eine erste, unvollkommene, lediglich anschauliche Darlegung meiner Gedanken - die mathematisch exakte Form, exakte Begriffe und Definitionen, umfassende Darstellungen und Begründung sowie sonstige weiterführende Gedanken sind mir für dieses Material zu umfangreich.

Das Wesentliche der Mengenlehre ist nicht die Quantität der Elemente (also die „Zählbarkeit“) einer Menge,
sondern die Qualität der Zuordnung der einzelnen Elemente zu bestimmten Eigenschaften, Zusammenhängen, usw.


An den folgenden zwei Beispielen will ich das näher erklären:

Puzzle-Spiel:
Hier ist jedes Element der Menge verschieden, es gibt aber trotzdem genau eine einzige mögliche Zuordnung: seinen Platz auf dem gesamten „Spielfeld“. Trotz aller Individualität der einzelnen Elemente ist das „Spielfeld“, die Möglichkeit an Kreativität für den Spieler auf eine einzige reduziert. Lediglich die Reihenfolge, in der die Elemente der Gesamtmenge zugeordnet werden, ist bei jedem Spieler anders.
Das Problem ist außerdem: Die Menge ist in ihrer Zahl so sehr festgelegt, dass wenn nur ein einziges Element verlorengeht, die ganze Menge ihren „Sinn“ verloren hat.
(„Ich hab´ zu Haus ein Puzzle - Spiel...“ )

Lego:
Hier sieht es ganz und gar anders aus: es gibt eine begrenzte Anzahl an verschiedenen Elementen, diese aber jeweils in beliebiger Zahl. Das „Spielfeld“ ist demgegenüber völlig frei. Jedes Kind hat mehr Spaß daran, diese Elemente zu kombinieren (mit ihnen zu „spielen“), statt sie zu ordnen (sie wieder „aufzuräumen“). Das „Kreativitätspotential“ einer Lego-Menge ist selbst bei äußerst geringer Anzahl von Spielelementen schon außerordentlich hoch.

Das Kreativitätspotential ist in diesem Sinne die Anzahl der möglichen herstellbaren Mengen (Teilmengen) aus den vorhandenen Elementen. Mit jedem Legostein, der hinzukommt, vervielfacht es sich.

Die Firma Lego hat z.B. die Mengenlehre dahingehend beherzigt, dass es ihr nicht mehr darauf ankommt, durch einfache, austauschbare und leicht ergänzbare Elemente eine große Vielfalt ein „Spielmengen“ - nämlich möglichen Endbauprodukten - zusammenzustellen, sondern möglichst viele, nur noch in speziellen, wenig differenzierbaren „Spielmengen“ einsetzbare Spielelemente anzubieten. Hier wird mit dem Puzzle-Effekt kombiniert - fehlt jetzt ein spezieller Bauteil, kann ein bestimmtes Spielergebnis nicht mehr erreicht werden. Man muss das ganze Set neu kaufen. Einfach clever!!

Das, was dem Ganzen „Sinn“ gibt, ist nun wieder die Frage, welche der möglichen Mengen (also Spielfiguren) tatsächlich realisiert werden: hier spielen ästhetische ( „Mutti, habe ich das nicht schön gebaut?“), funktionale („Guck mal, das Legoauto fährt richtig!“) und intelligente Fragen ( je erfahrener im Spiel das Kind ist, desto „feiner“ , „ausgeklügelter“ werden die Ergebnisse) eine Rolle. Hier spielt auch die Informationstheorie hinein. Das Kind speichert die bereits realisierten Spielergebnisse als Informationsvorrat, als Erfahrungen, die ihm beim weiteren Bauen zur Verfügung stehen. Das Gebaute „stirbt“ , die Erinnerung daran „lebt“.

Das Kind lernt auch, die Beziehung von „Werden“ und „Vergehen“ zu verstehen. Das Neue kann nur gebaut werden, wenn das Alte wieder auseinander genommen wird. Es lernt, dass auch „Zerstören“ sinnvoll ist, Teil des Lebens. __________________________________________________________________________________

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Nun meine Verallgemeinerung:

Ich definiere die
                       „vollkommene Menge“
als die Menge, deren Zuordnungseigenschaften von jeweils mindestens einem Element abgedeckt werden:
Hier ein Beispiel aus der Lego-Mengenlehre:
Bausteine mit zwei, vier und sechs Stiften ( „Steckern“) in den Farben blau, gelb, rot und schwarz.
Das ergibt 12 mögliche Kombinationen von Eigenschaften:

Farbe	Anzahl der Stecker / Stifte
	2	4	6
rot
gelb
blau
schwarz

Wenn auf allen diesen möglichen Plätzen jeweils mindestens ein Baustein vorhanden ist, gilt die Menge als „vollkommen“. Fehlt ein einziger Baustein, z.B. der gelbe Sechser, ist die Menge nicht mehr vollkommen.
Wenn andererseits auf einem der Plätze mehrere Bausteine vorhanden sind, spielt das für den Grad der „Vollkommenheit“ keine Rolle mehr. Wichtig ist allein: alle der möglichen Mengenplätze sind mit mindestens einem realen, wirklichen Element besetzt. Alle Elemente sind nur durch ihre Anwesenheit wichtig, zwischen den einzelnen Elementen wird nicht „gewertet“.
Im allgemeinen ist die „Vollkommenheit“ einer Menge nicht vorteilhaft. Erst fehlende Besetzungen von Elementenplätzen regen zur Phantasie an:

Beispiel:
1. Grad der Phantasie:
Das Kind hat keine schwarzen Zweier und keine roten Vierer. Es versucht also (Trieb nach Vollkommenheit), diese ebenfalls zu erhalten.
2. Grad der Phantasie:
Das Kind kennt auch die Farben weiß und grün und will wissen, ob es auch Legosteine in diesen Farben gibt.

3. Grad der Phantasie:
Es kennt andere Formen und wünscht sich auch diese als Legosteine, z.B. Dachziegel, Motoren, Figuren, Räder.

4. Grad der Phantasie:
Ich weiß nicht, was dem Kind noch alles an kreativen Gedanken einfällt.

Man kann auch sagen: die Vollkommenheit einer Menge ist eine dynamische Größe, die mit der Entwicklung des Erkenntnisstandes des Subjekts beliebig erweitert werden kann.
Die einen halten die „Deutschen“ schon für eine ausreichend vollkommene Menge, die anderen sagen, nein, erst die ganze Menschheit ist eine „vollkommene“ Menge.
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Eine zweite Definition führt einen subjektiven Faktor in die Mengenlehre ein (damit auch wieder die Rolle des Subjekts!) eine „Wertung“ ist möglich durch die Definition eines
                  „vollkommenen Elements“
Das ist eine willensmäßige, freie Entscheidung.

Zum Beispiel definiere ich bei den Legosteinen: der schwarze Sechser ist das vollkommene Element V:

(Hier war die  Skizze zur Veranschaulichung von Gewinner, Platzierten, Mitläufern und  dem "Verlierer" - dem "fremden Element")

Dann sind alle anderen schwarzen Bausteine diesem „Ideal“ , diese „Ziel“ angenähert, unterscheiden sich nur durch die Steckeranzahl von der Vollkommenheit, sind also etwas „besser“ oder „schlechter“. Andererseits sind auch die gelben, roten und blauen Sechser der Vollkommenheit nahe.

Eine dynamische Mengenauffassung lässt Spielraum für viele Entwicklungen:
Die Menge selbst kann erweitert werden, in der Anzahl der Elemente, in der Anzahl der möglichen Eigenschaften und Zuordnungen, in der Auffassung vom „vollkommenen Element“  usw.

In eine Elemente-Sammlung kann auch noch ein negatives Element eingeführt werden: das kann ein kaputter Legostein sein, das kann eine aus Versehen in die Kiste geratene Kugel sein usw. - das fliegt dann raus.
Das „negative Element“ stört die Ordnung.

Das negative Element koppelt zur „vollkommenen Menge“ zurück. Es ist eine „Herausforderung“, eine „Kampfansage“ gegenüber bisherigen Auffassungen und Definitionen der Menge. Dann wird nach alten Vorstellungen die „Machtfrage“ gestellt. Es kann aber auch in einer anderen Sicht eine Anregung sein für Kreativität und Spiel, für wachsende Freiheit und mehr Möglichkeiten der gesamten Menge. Mit der Erweiterung des Elementevorrates und der Zuordnungsmöglichkeiten einer Menge, mit der Änderung der Vorstellung von Vollkommenheit kann das negative Element plötzlich sogar das vollkommene werden.

Beim Legospiel kann die Murmel auf einmal ganz wichtig sein - wenn das Kind eine Murmelbahn gebaut hat zum Beispiel.

Ich glaube, an diesem kleine Beispiel wird schon deutlich, dass diese Definition eines „vollkommenen Elements“ nur alltägliche Erfahrungen in eine mathematischer Sprache „übersetzt“ hat.

Es wäre also eine Möglichkeit, mit diesen Definitionen die Verbindung von Mathematik und Alltag zu vertiefen.

Auch andere „Verbindungen“, Assoziationen, Analogieschlüsse sind denkbar:

„Der Stein,
den die Bauleute verworfen haben,
ist zum Eckstein geworden.“
( u.a. Mt. 21, 42)
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