banner fri - FRIDOLIN, DIE GESCHICHTE EINES ATOMMODELLS
FRIDOLIN
DIE GESCHICHTE EINES NEUEN MODELLS VON DER STRUKTUR DER MATERIE
DIE VORGESCHICHTE (1955 - 1998)

ZWEI GLEICH EINS? - DUMME GEDANKEN EINES DUMMEN WEIBES  ...

4. APFELMÄNNCHEN - PENTAGRAMM FRAKTAL
Selbstähnlichkeit


Pentagon-Pentagramm Diese Abbildung aus dem Buch von Friedrich Kaden "Kleine Geschichte der Mathematik" hatte mich also inspiriert, mich ausführlicher mit dem
Pentagon-Pentagramm zu beschäftigen.
Die"Apfelmännchen"
der Mandebrodt-Menge,
die "Fraktale", waren mir damals
nur am Rande bekannt. Doch passte das Wort "Apfelmännchen" sehr schön zu anderen Betrachtungen dieser Mathe-Arbeit über Äpfel, so dass ich dieses Kapitel nach ihnen benannte.
Die geometrische Spielerei, wie sie in den folgenden Zeichnungen zu sehen ist, hatte ich damals in vielen Stunden per Hand gezeichnet.
Ich habe mir sozusagen den Begriff "Selbstähnlichkeit" rein zeichnerisch erarbeitet, wie ich es auch mit anderen mathematischen Gebilden wie z. B. Spiralen, Labyrithen und Möbiusschen Bändern tat.
Dies und die Möglichkeit in dieser Zeit, im Wittenberger "Kulturbund" einen Aquarell-Zirkel besuchen zu können, half mir vor allem dabei, "sehen zu lernen".

Die Originalzeichnungen sind mit dem Original der Arbeit irgendwo verschollen.
Die Kopien, die ich davon gemacht hatte, waren mit meiner damaligen Technik nur sehr schlecht, sie waren auch nur noch innerhalb einer Word-Datei erhalten. Die Rettung brachte einen weiteren Datenverlust.
Ich bitte also die schlechte Qualität der folgenden Abbildungen zu entschuldigen.

Die doppelte Bedeutung des Wortes "Ausgang" - einmal als Alpha (Anfang) und einmal als Omega (Ende) - spielt hierbei eine Rolle.

Das Konstruktionsprinzip


Der Ausgang                            der leere Anfang
α

Pentagon, leerer Anfang



Der Ausgang                         das gefüllte Ende -
                                            das gar kein Ende hat. Ω                                                    

    das Ende - der gefüllte Ausgang Omega

        Konstruktionsprinzip 1
Das erste regelmäßige Fünfeck wird mit Hilfe des „Goldenen Schnittes“ (dieser wäre eine Extrabetrachtung wert, seine Bedeutung wird gegenwärtig mehr als unterschätzt) konstruiert. In das leere Fünfeck werden die Diagonalen eingezeichnet (oben), der Fünfstern bildet sich, mit einem neuen Fünfeck in der Mitte - grau gezeichnet.

        Konstruktion - Zusatzlinien einfügen

Verbindung der Ecken des äußeren und inneren Fünfecks und Verlängerung auf die Mitte der gegenüberliegenden Seiten des äußeren Pentagons.

        Konstruktion - das mittlere Fünfeck wird sichtbar

Die Schnittpunkte mit diesen Seiten werden verbunden und liefern ein weiteres Fünfeck (schwarze Linie, das „mittlere“ Fünfeck genannt)

Konstruktion - nächster Schritt

In das „mittlere“ Fünfeck wird der Fünfstern gezeichnet (schwarze Linie).

      Konstruktion - die kleinen Fünfecke werden sichtbar

Die sich dabei bildenden kleineren Fünfecke sind grau hervorgehoben.


      Konstruktion - die Wiederholung des Musters wird erkennbar

Ein kleines Fünfeck ist mit roten Linien umrahmt, es ist ein „Abbild“ des großen Fünfecks und man sieht, dass in ihm das Konstruktionsprinzip fortgesetzt ist - die rote Fünfecke entsprechen den grauen ....

     Konstruktion wird weiter fortgesetzt

In diesen beiden Abbildungen wird die Fortsetzung der Konstruktion in immer kleinere „feinere“ Fünfecke angedeutet, in der unteren weiter ausgeführt.

      Konstruktion wird rundherum ausgeführt

Der nächste Schritt führt dann zur obigen Abbildung des "gefüllten Ausgangs".
Hier breche ich ab, im Prinzip könnten diese Wiederholungen "unendliche Male" fortgesetzt werden.
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Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite: 23

Erst als ich so weit gekommen war, sah ich die Ähnlichkeit mit zahlreichen Escher-Zeichnungen, der seine fraktalen Muster oft in Kreise gesetzt hatte.
Das Faszinierende für mich in meinen und seinen Zeichnungen war,
dass man, solange man auch zeichnet und das Muster immer kleiner werdend wiederholt, man nie die Begrenzungslinie überschreiten kann:
                 Unendlichkeit und Begrenzung des Musters in einem.
Sorry, ich will es nicht dauernd wiederholen - aber auch gilt:
                                     "ZWEI GLEICH EINS".
Die paradoxe Vorstellung von der Unendlichkeit und Begrenztheit des Weltalls findet hier zumindest eine Darstellungsmöglichkeit.
Ohne dieses aufwändige Zeichnen hätte ich das wohl gar nicht begriffen.
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