Wie ein Mathematiker mit der Unendlichkeit umgeht:

Wie mit einer Frau: Er kreist sie ein, umzingelt sie, zählt sie ab oder an - und schon hat er sie fest im Griff

Anders gefragt:
Haben wir sie fest im Griff - oder spielt sie mit uns?

Die Unendlichkeit ist sehr kompliziert. Man bekommt sie so schlecht in den Griff. Hier, im Bereich des Unendlichen verlieren nämlich alle in der Endlichkeit wichtigen Dinge ihren Wert.
Unser Mathematikprofessor formulierte das einmal so:
„Selbst wenn Sie sich ein Gebiss aus Gold machen würden, wären Sie nicht mehr wert als zuvor - weil Sie schon jetzt unendlich viel wert sind.“
Mein Nachdenken über Mathematik begann neu im Oktober 1997. In unserer Bibliothek war mir ein Mathematikbuch zufällig in die Hände gefallen, dessen Titel verlockend war:

Rózsa Péter
„Das Spiel mit dem Unendlichen“
Mathematik für Außenstehende
5. Auflage 1984, BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft Leipzig

Es wurde zum  Ausgangspunkt, zum Auslöser für diese meine Mathe-Arbeit, die ich lediglich als Spielerei, als Laune betrachtete.

Der Titel des Buches (es war in eine Schülerbuch-Reihe herausgegeben) ließ mich vermuten, dass hier mathematische Unterhaltung angeboten würde, die ich vielleicht mit meinem Sohn diskutieren könnte. Ich hatte keine Zeit, das Buch war klein und so steckte ich es in die Tasche, um es mir zu Hause in Ruhe anzusehen.
Dann sah ich, dass es doch ein recht „anspruchsvolles“ Buch war, das mehr als die übliche zehnklassige Schulbildung in Mathematik voraussetzte. Große Lust hatte ich deshalb nicht, darin zu lesen, blätterte hier und da und stieß auf die Bemerkung, dass man eindeutig einen Fehler in einer Beweiskette erkennen kann, wenn man irgendwo auf die käme.

Da ahnte ich noch nicht im geringsten, wie mich diese kleine "Gleichung" seitdem beschäftigen würde. Doch nun war mein Interesse geweckt und ich las mehr. Als ich dabei auf sehr verständliche und stilistisch unübliche Ausdrücke stieß, wunderte ich mich. Dann erst merkte ich, dass dieses Buch von einer Frau geschrieben war. Ich hatte zuvor „Péter“ für den Vornamen gehalten.
Ist also doch etwas an der Behauptung, dass Frauen und Männer an Mathematik, an Wissenschaft unterschiedlich herangehen, unterschiedlich denken?

Hat vielleicht doch unser hochverehrter Martin Luther recht, der da sagte: Sind Frauen nun geeignet für wissenschaftliches Denken oder nicht? Oder ist heutiges wissenschaftliches Denken nichts für  Frauen?
Meine Erfahrung ist: ich kann denken, wie es in der Wissenschaft üblich ist, aber es macht mir oft wenig Freude.

Zurück zum Buch und dem Erstaunen darüber, dass es von einer Frau verfasst worden war.
Ich stieß auf eine äußerst eigenartige Information.
Gleich kommt das entsprechende Zitat aus dem Buch „Das Spiel mit dem Unendlichen“, das zeigt, was ich meine.

Zuvor eine kleine Einstimmung auf das Zitat:
Es ist völlig unwichtig, was der Herr Hilbert im einzelnen meinte und was der Herr Gentzen dann machte, man muss es nicht verstehen (!). Ich will nur meinem Bedürfnis nach exakter Quellenangabe gerecht werden. Ich erläutere nach dem Zitat, was für mich daran wichtig war.
Hilbert ist der „Erfinder“ der exaktesten, abstraktesten und ziemlich nutzlosen Definition von etwas ganz Abstraktem, die niemand wirklich braucht:
Hilbert sagte unter Verwendung der leider noch viel zu konkreten Begriffe „Ding“ und „Beziehung“**:
          »Zu zwei P-Dingen A und B
           gibt es stets ein G-Ding,
           das in der Beziehung X zu A und B
           steht.«
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite  30:

Haben wir die Unendlichk. wirklich "fest im Griff"?   Seite 2

Diese Definition hat allerdings einen Nutzen, einen sehr psychologischen: Wenn ein Mensch Worte hört, die er nicht versteht, entwickelt er ein Gefühl der Unterlegenheit gegenüber dem, der diese Worte schreibt oder ausspricht. Sein Selbstbewusstsein schwindet, der andere kann ihm erzählen, was er will. Selbst wenn es der größte Blödsinn ist, er wird es nicht wagen, irgendeinen Zweifel zu äußern. Um die „Leistung“ Hilberts deutlich zu machen, gibt es einen hübschen Witz:

So, und jetzt kommt endlich das angekündigte Zitat aus dem Buch von Rózsa Peter aus dem Abschnitt:
21. Vor dem Tribunal der Über-Mathematik:
(Hervorhebungen von mir - B.K.)
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :

Haben wir die Unendlichk. wirklich "fest im Griff"?   Seite 3

Neben der praktischen Unmöglichkeit, eine unendliche Menge rückwärts zu zählen, war ein zweiter Hinweis interessant. Ich hatte vor dem Lesen dieses Buches noch nichts von den „Intuitionisten“ gehört. Es hat den Anschein, dass auch hier Wissen, das nicht in HERR-schende Sichtweise passt, unterdrückt wurde. Vielleicht sind die Intuitionisten es wert, in Zukunft stärker diskutiert zu werden?

Das Zitat zeigt, dass die Mathematiker wirklich glauben, mit diesen üblen Tricks die Unendlichkeit „abzählbar“ gemacht zu haben - sie „eingekreist“, „in den Griff bekommen“ zu haben.

Das Problem beim Rückwärts-Zählen ist: Wie soll das denn gehen? Welcher Zahl gebe ich die Nr. 1?
Hier ist eine theoretische Forderung gestellt, die praktisch nicht ausführbar ist.*

Die unendliche Menge der natürlichen Zahlen wurde in eine endliche Teilmenge gerader Zahlen und eine unendliche Teilmenge ungerader Zahlen „geteilt“ - mit dem Ergebnis, dass man das Problem nur verkompliziert, versteckt, aber nicht gelöst hat. Eine unendliche Menge kann man nicht rückwärts zählen! Der Mathematiker ist am Ende - er will etwas tun und er kann nicht mehr! Es ist wie mit dem Barbier: eine widersprüchliche Forderung liegt vor. Die „Widerspruchsfreiheit“ ist verletzt!

Erst nach diesem Buch wurde mir bewusst, dass es gar keine einheitliche objektive Mathematik gibt (ähnlich, wie ich es schon in der Physik erkennen konnte bzw. musste), sondern dass sich hier die Herren der Schöpfung regelrecht bekriegen - wie auf allen Gebieten, wo jeder Recht haben will.
Sie stellen dann die Machtfrage - in diesem Fall heißt sie:
Wie groß / Was ist die kleinere Unendlichkeit, bzw. wie mächtig ist eine unendliche Menge?
Und sie „beweisen“, dass es verschiedene (verschieden große) Unendlichkeiten gibt, die man dann auch noch rückwärts zählen kann. Es wird Zeit, dass wir diesen Schein-Problemen eine „machtfreie“ Alternative gegenüberstellen.

Und damit gehe ich kontinuierlich zum nächsten Abschnitt über – es geht um die Frage nach der Zählbarkeit oder Abzählbarkeit unendlicher Mengen und um die Probleme mit dem Kontinuum.
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :

Und ewig zählen die ....

.... eene, meene, muh - und raus bist du!
(Gedanken zur Zählbarkeit und Abzählbarkeit)

Ein Hohelied auf die Mengenlehre muss gesungen werden - auch und gerade aus weiblicher Sicht: Ganz „objektiv“ gesehen, ist sie der erste Schritt der deformierten Mathematik wieder hin zum ganzheitlichen Sehen, zum Erfassen der Ganzheit, nachdem in der Geschichte der Mathematik bis zu diesem Zeitpunkt das Zergliedern, Teilen, Analysieren, entwickelt worden war. Allerdings hat sie, die Mengenlehre, mit den Mathematikern noch eine Reihe von Problemen: Neben der noch völlig unterentwickelten qualitativen Seite und der vom Alltag so sehr abgehobenen Abstraktionsebene kommen die Mathematiker mit unendlichen Mengen nicht klar. Sie können sie nicht einmal richtig zählen.

Ein Hauptproblem ist, dass Begriff wie „Zählbarkeit“ und „Abzählbarkeit“ nicht exakt unterschieden werden, die „Überabzählbarkeit“ schafft zusätzliche Verwirrung in der Vorstellungswelt. So entsteht eine gewisse „Nicht-Eindeutigkeit“ im Gebrauch des Wortes „zählbar“.
Sicher ist es interessant und wichtig, zwischen Mengen, deren Elemente gezählt werden können. und Mengen, deren „Elemente“ nicht gezählt werden können, zu unterscheiden (im letzteren Fall würde es sich folglich um ein „Kontinuum“ handeln).
Meiner Meinung nach genügt für diese Unterscheidung der Begriff der „Zählbarkeit“ einer Menge.

Wenn man etwas „abzählt“ , dann bedeutet das im Alltag, in der Umgangssprache, dass man das vorhandene bis zum Schluss, bis zum Ende zählt, anders gesagt: bis man jedes Element der Menge zählend erfaßt hat.
Daraus schließe ich, dass es für die Mengenlehre vorteilhaft wäre, zwischen den Begriffen „Zählbarkeit“ und „Abzählbarkeit“ ganz „exakt“, ganz „genau“ zu unterscheiden.
Das Kriterium der Abzählbarkeit kann demzufolge immer nur ein endliche Menge - bzw. eine endliche Teilmenge einer unendlichen Menge - erfüllen.

Wenn man nämlich „zählbar“ und „abzählbar“ verwechselt, synonym gebraucht, entsteht diese heillose Verwirrung, wie sie sich z. B. in der Frage widerspiegelt, ob die „Kardinalzahl einer abzählbar unendlichen Menge kleiner als die Kardinalzahl einer nicht abzählbaren unendlichen Menge“ sei - dem sogenannten Kontinuumsproblem. Denn dahinter steht ganz schlicht und dämlich die Frage, welche dieser unendlichen Mengen „mehr“ Elemente hat, aber mit der Frage nach der „Größe der Kardinalzahl“ kann man das so schön vertuschen.
Überhaupt verwirrt die Frage nach der Zählbarkeit den Mathematiker mehr als sie nützt - er kann ja bis in alle (zeitliche) Unendlichkeit, bis in alle Ewigkeit (oder eine „halbe Ewigkeit“ ?) zählen, er wird nie (!!!) bis „Unendlich“ kommen - also: wozu ist es gut, sich darum zu streiten? ....

Was der arme Mathematiker mit seiner „Kardinalfrage“ so umständlich auszudrücken versucht, lässt sich auch einfacher sagen:
Unendlich viele Zahlen sind noch längst nicht alle Zahlen.
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite  29:

Unendlich viele Zahlen
sind noch längst nicht alle Zahlen

Über diese paradox erscheinende Aussage muss man erst einmal nachdenken, wenn man dem Wesen der Unendlichkeit näherkommen will.
Die eigentliche Frage ist, ob man eine Menge von Zahlen zählen kann, wenn diese unendlich viele Elemente enthält.

Zählen heißt, eine Reihenfolge, eine Ordnung festlegen.
Man sagt: das ist die Nr. 1, das ist die Nr. 2, das ist die Nr. 3 usw. Man ordnet also den Elementen einer Menge die Ordnungszahlen zu, oder man ordnet den Ordnungszahlen ( deshalb heißen sie so) die Elemente zu:
die Ordnungszahlen → das zugeordnete Element
Nummer eins: 1. – erste(r)     → erstes Element,
Nummer zwei: 2. – zweite(r)   → zweites Element,
Nummer drei:  3. – dritte(r),   → das dritte Element usw.

Einige Beispiele, die natürlichen Zahlen insgesamt oder unendlich große Teilmengen der natürliche Zahlen zu zählen, stelle ich in der folgenden Tabelle dar:
   Tabelle 1

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	7.	8.	9.	10.
A	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	1	3	5	7	9	11	13	15	17	19
C	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
D	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Deutlich wird, dass das Ordnen von Zahlen eine Frage des Willens ist: Ich suche mir die Ordnung aus, die ich brauche oder finden kann, um die Elemente übersichtlich darzustellen.

Nun ordne ich Dezimalzahlen. Hier wie schon in den obigen Beispielen handelt es sich um unendliche Reihen von Zahlen, die man „bis in alle Ewigkeit“, ohne Ende weiterzählen kann, ohne dass man je an eine „letzte Zahl“ kommt. Jede dieser Reihe enthält also unendlich viele Zahlen.

  Tabelle 2

	1.	2.	3.	4.	5.	6.	usw.
E	0,1	0,11	0,111	0,111 1	0,111 11	0,111 111	...
F	0,2	0,22	0,222	0.222 2	0.222 22	0.222 222	...
G	0,1	0,01	0,001	0,000 1	0,000 01	0,000 001	...
H	0,9	0,99	0,999	0,999 9	0,999 99	0,999 999	...
I	0,2	0,27	0,271	0,271 8	0,27182	0,271 828	...

Die Versuchung ist groß, zu sagen:
Iin der ersten Reihe sind weniger Zahlen als in allen fünf Reihen zusammen. Es erscheint dem „gesunden Menschenverstand“ so „logisch“. Diese erste Reihe enthält „unendlich viele Zahlen“ – aber es sind ( leicht erkennbar) nicht „alle Zahlen“. Das Paradoxe der Unendlichkeit ist nur, dass die Anzahl der Zahlen in der ersten Reihe trotzdem „genauso“ groß ist wie die Anzahl der Zahlen in allen Reihen zusammen – eben „unendlich viele“. Mehr gibt es nicht.
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite : 30

Unendlich viele Zahlen ...    Seite: 2

An dieser Stelle kann ich es Ihnen leider nicht ersparen, die offizielle Definition von „abzählbar“ und „über-abzählbar“ zu schreiben. Lassen Sie sich nicht verwirren. Es wird „alles gut“, und ich hoffe, am Ende dieses Abschnittes lachen Sie mit mir über die uns zugemutete Dummheit der Schlauen, ach was sage ich, der
„Über-Schlauen“.
In einem "Lexikon der Mathematik"¹ steht unter dem Begriff der „Menge“ u.a.:

Da wird also gesagt, natürliche Zahlen und rationale Zahlen wären „abzählbar“, reelle Zahlen wären das nicht.

Das „Kardinalproblem“, das „Kontinuums-Problem“ ist die Frage nach der Mächtigkeit unendlicher Mengen:
Ist die transfinite Kardinalzahl der Menge der reellen Zahlen gleich der Kardinalzahl der Menge der natürlichen Zahlen ist oder ist sie eine „größere“ transfinite Kardinalzahl? In der Umgangssprache kann man das auch so formulieren, dann wird die ganze Sinnlosigkeit der Frage leichter deutlich:
Hat die unendliche Menge der reellen Zahlen mehr Elemente (eine größere Anzahl) als die unendliche Menge der natürlichen Zahlen? Gibt es eine Menge, die mehr Elemente (eine größere Anzahl) hat als die unendliche Menge der natürlichen Zahlen? Das ist die gleiche Frage wie die, ob die erste Reihe der Zahlen in Tabelle 2 „weniger“ Zahlen enthält als die ganze Tabelle.

Es klingt natürlich wesentlich gelehrter, wenn man das nicht so „einfach“ daherfragt, sondern in eine etwas „wissenschaftlicher“ klingende Formulierung bringt, wie ich sie zuerst genannt habe. Die Frage spiegelt den Erkenntnisstand des Fragers, auch wenn es angeblich keine „dummen Fragen“ geben soll. Die Frage stellen heißt zu beweisen, dass man die Unendlichkeit absolut nicht durchschaut, überhaupt nicht verstanden, erst recht nicht „in den Griff bekommen“ hat.
Denn diese Zahl, die „transfinite Kardinalzahl“ ist ein Gespenst – etwas, das es „in Wirklichkeit“ überhaupt nicht gibt. Es gibt keine Zahl, die die Anzahl der Elemente einer unendlichen Menge angeben kann, da sie „unendlich“ ist . „Unendlich“ ist aber keine Zahl!

Ich will nun beweisen:
Wenn gesagt wird, die Menge der natürlichen Zahlen sei „abzählbar“ – exakter ausgedrückt „zählbar“ - , dann ist es genauso die Menge aller Dezimalzahlen². Wenn aber behauptet wird, die Menge der reellen Zahlen sei „überabzählbar“, dann ist es die Menge der natürlichen Zahlen genauso.
__________
1 Quelle: VEB Bibliographisches Institut Leipzig 1977
2 Die Menge der Dezimalzahlen ist der Zahlenbereich der rationalen und der reellen Zahlen. Dabei ist der Übergang zwischen beiden Mengen „kontinuierlich“, man kann nicht genau sagen, wo er stattfindet.
__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :

Unendlich viele Zahlen ...    Seite: 3

Zur Veranschaulichung der Probleme, die man bekommt, wenn man die (alle) reellen Zahlen zählen will, gehe ich jetzt auf zwei Beispiele aus Tabelle 2 ein:

Beispiel I (s. o.,Tabelle 2):
Die Zahlenfolge ist so gewählt, dass sie sich der reellen Zahl e / 10 = 0, 271828 ... (e : Eulerschen „Zahl“, e = 2, 71828... ) immer mehr annähert. Ich zähle also in einer eindeutigen Folge von rationale Dezimalzahlen – und wenn ich lange genug („ewig“) gezählt habe, erreiche ich die „Zahl“ e / 10. Sie ist also „zählbar – unzählbar“.

Beispiel H (s. o., Tabelle 2):
(siehe hierzu auch die Ausführungen auf Seite 6:
"Alles eins - alles gleich?": Wie verhalten sich 0,999 ... und 1 zueinander?):
Auch in diesem Beispiel wird eine Dezimalzahl gezählt, die im so genannten „abzählbaren“, also „endlichen“ Bereich als rationale Zahl auftritt. So weit ich auch zähle, ich bewege mich im Bereich der rationalen Zahlen. Die „reelle Zahl“ 0,999 999 999 ... (ohne Ende der Ziffernfolge) erreiche ich nie „wirklich“, immer nur „theoretisch“, „abstrakt“. Aber – in diesem theoretischen „Erreichen“ liegt eine erstaunliche Eigentümlichkeit: wenn ich sie denn je erreicht haben sollte – bin ich bei „1“, „Eins“. Am „Ende“ des nichtendenden Zählvorgangs steht nicht eine reelle, sondern eine natürliche Zahl! In dieser Zahlenfolge, in dieser Zahlenmenge ist ihr Ende zwar „abzusehen“, aber trotzdem nicht zu erreichen. Es ist wie in der Konstruktion des Pentagons (in 4. APFELMÄNNCHEN, S. 23), in der das äußere Fünfeck auch erst „im Unendlichen“ erreicht werden könnte.
Es gilt:
Die natürlichen Zahlen sind zählbar, aber wie weit man auch zählt, sie sind zählbar immer nur in ihrem „endlichen Bereich“, eine „endliche Teilmenge“ aus einer möglichen unendlichen Menge. Die unendliche Menge der natürlichen Zahlen existiert nicht „wirklich“, sondern nur „in der Möglichkeit“. Wenn eine natürliche Zahl „zählend erfasst“ ist, handelt es sich immer um eine endliche natürliche Zahl. Die „unendlichen“ natürlichen Zahlen kann man sich zwar denken, man kann sie aber nicht zählen.

Ein Beispiele für „unendliche“ natürliche Zahlen, die man sich zwar denken, aber die man nicht zählend erfassen kann, möchte ich nennen:
es wäre denkbar eine unendliche Zahl, die vorn eine 9 hat und dann unendlich viele Nullen:
9 000 000 000 000 .....
Das ist keine „wirkliche“ Zahl. Es gibt sie überhaupt nicht. Aber „denken“ kann ich sie mir – paradoxerweise – trotzdem.
Ich kann ihr keinen Platz, keine Ordnungszahl zuordnen entsprechend der üblichen Zählung der natürlichen Zahlen in Einerschritten.
Nun kann ich trotzdem, mit dieser Zahl beginnend, eine Zählung veranstalten:
Ich kann zählen:
1. Element                9 000 000 000 ...........
2. Element                9 900 000 000 ............
3. Element                9 090 000 000 ............
4. Element                9 009 000 000 ............
usw.
Ich „zähle“ also „Zahlen“, die es in Wirklichkeit gar nicht gibt! Das ganze hat zwar keinen Nutzen, keinen Sinn, ist aber nicht dümmer als die Machtfrage, das Kontinuums-Problem.
Das Unübliche daran ist: ich zähle sie nicht in ihrer Reihenfolge in Einer-Schritten, sondern nach einem willkürlichen Prinzip, das ich mir ausgedacht habe. Es ist paradox: ich kann „unendliche natürliche“ Zahlen nicht in ihrer natürlichen Reihenfolge zählen, aber ich kann sie in eine andere zählbare Reihe bringe – und das, obwohl es sie nicht einmal gibt! Oder gibt es sie – im Unendlichen?

Nun will ich „beweisen“, dass die Anzahl der natürlichen Zahlen und die Anzahl der reellen Zahlen „gleich ist“, bzw. ich will beweisen, dass man beide Zahlenmengen zählend erfassen, aber nie völlig abzählen kann.
Wichtig ist nur, dass deutlich werden soll, dass die Frage der Zählbarkeit für beide Mengen gleich zu beantworten ist
(2 = 1 – die zwei alten Auffassungen von der Zählbarkeit mache ich zu einer einzigen).
Zu diesem Zweck habe ich eine Tabelle aufgebaut:
(siehe Seite 33 )__________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :

Unendlich viele Zahlen ...    Seite: 4


_________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite : 33

Unendlich viele Zahlen ...    Seite: 5
Auf der Seite links der lila gekennzeichneten Diagonale ordne ich die natürlichen Zahlen, auf der rechten Seite ordne ich die Dezimalzahlen an.
Beide Teile der Tabelle verhalten sich spiegelbildlich zueinander¹.
Man kann sehen, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine und genau eine Dezimalzahl gibt, die sozusagen spiegelbildlich ist.
Es ist eine ganz und gar „eindeutige Zuordnung“ der natürlichen Zahlen zu den Dezimalzahlen.
Allerdings ist sie keine „übliche“ , keine „gewohnte“ Zuordnung.
In der gelb gekennzeichneten Spalte links bzw. der gelb gekennzeichneten Zeile rechts sind die Spiegelbildzahlen folgender natürlichen Zahlen markiert:

natürliche Zahl	5	50	51	52	53	54	55	56
ihr Spiegelbild	0,5	0,05	0,15	0,25	0,35	0,45	0,55	0,65

Analog kann man bei den Zahlen mit drei Ziffern verfahren und den natürlichen Zahlen „Spiegelbildzahlen“ (Spiegelzahlen) zuordnen:

natürliche Zahl	530	531	532	533	534	535	536
ihr Spiegelbild	0,035	0,135	0,235	0,335	0,435	0,535	0,635

Allgemein kann man jeder beliebigen natürlichen Zahl ....hgfedcba
(a = Einer, b = Zehner, c = Hunderter, d = Tausender usw.)
eine „Spiegelzahl“ derart zuordnen, dass man schreibt:
               ....hgfedcba ← → abcdefgh....

Es ist dann nur eine Frage der Zeit, wie lange man zählen will und kann. Man schafft es weder, „alle“ natürliche Zahlen zu zählen, noch „alle“ Dezimalzahlen.
Die nichtgezählten Zahlen der unendlichen Menge der natürlichen Zahlen gibt es – wie schon gesagt, deshalb nur „in der Möglichkeit“, „potentiell“ , „nicht wirklich“.
Ebenso sind die Dezimalzahlen in dieser Tabelle „gleich mächtig“ – wenn es denn schon sein muss, das zu sagen. Sie sind genauso nur in einem endlichen Teilbereich zählbar, während der unendliche Rest nur „potentiell“, nur „in der Möglichkeit“ vorhanden ist.
Zählen macht aus „möglichen“ Zahlen „wirkliche“ Zahlen.

In dieser Tabelle werden die Dezimalzahlen nicht nach rationalen und irrationalen Zahlen unterschieden. Das ist natürlich für Mathematiker, die in diesen Kategorien bzw. Schablonen denken, ein Problem.
Aber das ist nicht mein Problem.

Ich habe lediglich gezeigt, dass die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der Dezimalzahlen, die alle rationalen und irrationalen Zahlen (also alle reellen Zahlen) beinhaltet, „gleich groß“ ist, sofern der Begriff auf unendliche Mengen überhaupt anwendbar ist.
Wie man nicht alle natürlichen Zahlen tatsächlich zählend erfassen kann, sondern immer nur eine endliche Teilmenge davon, kann man sie „im Prinzip“, nur „theoretisch“ zählen. Also ist die Frage nach der „Abzählbarkeit“ der natürlichen Zahlen ein Widerspruch in sich.

Damit wird hoffentlich deutlich, dass alle diese Fragen nach der Mächtigkeit unendlicher Mengen, nach der Unterscheidung in „zählbar“, „abzählbar“, „überabzählbar“ Scheinprobleme sind.
Sie erfüllen keinerlei praktischen Zweck.
Man sollte seine Zeit nicht damit vergeuden, sich über dieses Problem noch länger den Kopf zu zerbrechen. Denn in der ganz praktischen Frage der Anwendung der Mengenlehre im Alltag ist noch eine Menge zu tun.

Was das mögliche Zählen von reellen Zahlen betrifft:
Alle reellen Zahlen kann ich zwar nicht der Größe nach ordnen.
Aber ich kann eine endliche Teilmenge der reellen Zahlen zählen: z. B. kann ich die Teilmenge der reelle Zahlen, die mit Buchstaben belegt sind - wie e (eulersche Zahl), π usw. - zählen:
die beiden möglichen Ordnungssysteme, die sich hier anbieten:
- diese Teilmenge läßt sich sehr wohl der Größe nach ordnen,
- oder ich ordne sie nach der historischen Reihenfolge, in der sie in der Mathematik „auftauchten“ und gebe ihnen dann Ordnungszahlen.
Aber ehe ich das tue, frage ich mich: „Wozu ?“
Auch das hat aus meiner Sicht keinen Sinn, keinen Nutzen.


Im nächsten Abschnitt - 6. EINE GANZE MENGE - will ich zeigen, wie wichtig und interessant es sein könnte, wenn die Mengenlehre als mathematische Spiegelung des realen Lebens mehr Aufmerksamkeit im Schulunterricht erhalten würde, wenn die Schüler von klein auf besser mit ihr vertraut gemacht werden. Denn sie kann wirklich eine gute Hilfe sein, Prozesse des Lebens außerhalb der „reinen Mathematik“ und der „reinen Wissenschaft und Theorie“ zu verstehen.
______________
1 Der Spiegel als „2 = 1“ - Phänomen kann in dieser Arbeit nicht ausführlich dargestellt werden. Er wäre ebenfalls einer ausführlichen Betrachtung wert. Denn Spiegel sind ein Horror-Problem der Wissenschaftler und seit alters her ein Attribut von Frauen und Göttinnen. _________________________________________________________________________________

Mathe-Arbeit Brunhild Krüger 1997 -   "Dumme Gedanken ..."                                     Seite :